Bài giảng 21: Không gian null

Không gian null của ma trận A, được ký hiệu là Null(A), là không gian vector được sinh bởi tất cả các vector cột x thỏa mãn phương trình ma trận

$Ax=0.$

Rõ ràng, nếu x và y thuộc không gian null của A, thì ax+by cũng thuộc không gian null, do đó không gian null đóng dưới phép cộng vector và phép nhân vô hướng. Nếu ma trận A có kích thước m×n, thì Null(A) là một không gian con vector của tất cả các ma trận cột kích thước n×1. Nếu A là ma trận vuông khả nghịch, thì Null(A)chỉ chứa vector không.

Để tìm một cơ sở cho không gian null của một ma trận không khả nghịch, ta đưa A về dạng bậc thang hàng rút gọn. Ta minh họa bằng ví dụ. Xét ma trận 3×5

$A=\begin{pmatrix}-3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&-1\\2&-4&5&8&-4\\\end{pmatrix}.$

Bằng cách sắp xếp hàng một cách hợp lý để đơn giản hóa các phép toán, một cách để đưa rref(A) là

$\begin{pmatrix}-3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&-1\\2&-4&5&8&-4\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&-2&2&3&-1\\-3&6&-1&1&-7\\2&-4&5&8&-4\\\end{pmatrix}$

$\to\begin{pmatrix}1&-2&2&3&-1\\0&0&5&10&-10\\0&0&1&2&-2\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&-2&2&3&-1\\0&0&1&2&-2\\0&0&5&10&-10\\\end{pmatrix}$

$\to\begin{pmatrix}1&-2&0&-1&3\\0&0&1&2&-2\\0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}.$

Ta gọi các biến liên kết với các cột trụ là biến cơ bản x₁ và x₃, và các biến liên kết với các cột không trụ là biến tự do x₂, x₄ và x₅. Viết các biến cơ bản ở vế trái của các phương trình Ax=0, từ hàng thứ nhất và thứ hai ta có

$\begin{matrix}x_{1}=2x_{2}+x_{4}-3x_{5},\\x_{3}=-2x_{4}+2x_{5}.\end{matrix}$

Loại bỏ x₁ và x₃, ta có thể viết nghiệm tổng quát cho các vector trong Null(A) như sau

$\begin{pmatrix}2x_{2}+x_{4}-3x_{5}\\x_{2}\\-2x_{4}+2x_{5}\\x_{4}\\x_{5}\end{pmatrix}=x_{2}\begin{pmatrix}2\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_{4}\begin{pmatrix}1\\0\\-2\\1\\0\end{pmatrix}+x_{5}\begin{pmatrix}-3\\0\\2\\0\\1\end{pmatrix},$

với các biến tự do x₂, x₄, và x₅ có thể nhận bất kỳ giá trị nào.

Bằng cách viết không gian null theo dạng này, ta thấy rõ cơ sở của Null(A), được cho bởi:

$\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-2\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\0\\2\\0\\1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}.$

Không gian null của A là một không gian con ba chiều của tất cả các ma trận cột kích thước 5×1. Nói chung, số chiều của Null(A) bằng số cột không trụ của rref(A).

LUYỆN TẬP

Câu 1: Xác định cơ sở cho không gian null của

$A=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&1\\1&0&1&1\\\end{pmatrix}.$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Ta đưa A về dạng bậc thang rút gọn

$\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&1\\1&0&1&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&-1&1\\0&-1&0&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&-1&0&1\\0&0&-1&1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&1&0&-1\\0&0&1&-1\\\end{pmatrix}\\\to\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&1&0&-1\\0&0&1&-1\\\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&0&2\\0&1&0&-1\\0&0&1&-1\\\end{pmatrix}.$

Phương trình Ax=0 với các biến xoay quanh được viết ở vế trái

$x_{1}=-2x_{4},\quad x_{2}=x_{4},\quad x_{3}=x_{4},$

Một vectơ tổng trong không gian null có thể được viết dưới dạng

$\begin{pmatrix}-2x_{4}\\x_{4}\\x_{4}\\x_{4}\end{pmatrix}=x_{4}\begin{pmatrix}-2\\1\\1\\1\end{pmatrix}.$ Do đó, cơ sở cho không gian null được cho bởi vectơ duy nhất $\begin{pmatrix}-2\\1\\1\\1\end{pmatrix}.$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 21: Không gian null

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy