Bài giảng 23: Không gian cột

Không gian cột của một ma trận là không gian vector được sinh bởi các cột của ma trận. Khi một ma trận được nhân với một vector cột, vector kết quả nằm trong không gian cột của ma trận, như có thể thấy từ

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}.$

Tổng quát, Ax là một tổ hợp tuyến tính của các cột của A. Với một ma trận A kích thước m×n, chiều của không gian cột của A là bao nhiêu và làm thế nào để tìm cơ sở? Lưu ý rằng vì A có m hàng, không gian cột của A là một không gian con của tất cả các ma trận cột kích thước m×1.

May mắn thay, một cơ sở cho không gian cột của A có thể được tìm thấy từ rref(A). Xét ví dụ

$A=\begin{pmatrix}-3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&-1\\2&-4&5&8&-4\\\end{pmatrix},\quad rref(A)=\begin{pmatrix}1&-2&0&-1&3\\0&0&1&2&-2\\0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}.$

Phương trình ma trận Ax = 0 thể hiện sự phụ thuộc tuyến tính của các cột của A, và các phép biến đổi hàng trên A không làm thay đổi mối quan hệ phụ thuộc này. Ví dụ, cột thứ hai của A ở trên là −2 lần cột đầu tiên, và sau một số phép biến đổi hàng, cột thứ hai của rref(A) vẫn là −2 lần cột đầu tiên.

Rõ ràng rằng chỉ các cột trụ của rref(A) là độc lập tuyến tính, do đó chiều của không gian cột của A bằng với số cột trụ; ở đây là hai. Một cơ sở cho không gian cột được cho bởi cột thứ nhất và thứ ba của A (không phải rref(A)), và là

$\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\2\\5\end{pmatrix}\end{Bmatrix}.$

Nhớ rằng chiều của không gian null là số cột không phải cột trụ (bằng với số biến tự do) do đó tổng của chiều không gian null và không gian cột bằng tổng số cột. Phát biểu của định lý này như sau: Cho A là một ma trận kích thước m×n, thì

$dim(Col(A))+dim(Null(A))=n.$

LUYỆN TẬP

Câu 1: Xác định chiều và tìm cơ sở cho không gian cột của

$A=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&1\\1&0&1&1\\\end{pmatrix}.$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Ta tìm được

$A=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&1\\1&0&1&1\\\end{pmatrix},\quad rref(A)=\begin{pmatrix}1&0&0&2\\0&1&0&-1\\0&0&1&-1\\\end{pmatrix},$

và dim⁡(Col(A))=3, với một cơ sở cho không gian cột được cho bởi ba cột đầu tiên của A.

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 23: Không gian cột

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy