Bài giảng 25: Phép chiếu trực giao

Giả sử V là không gian vectơ n-chiều của tất cả các ma trận n×1 và W là không gian con p-chiều của V. Gọi $\begin{Bmatrix}s_{1},s_{2},\cdots,s_{p}\end{Bmatrix}$ là một cơ sở trực chuẩn của W. Mở rộng cơ sở cho W, gọi $\begin{Bmatrix}s_{1},s_{2},\cdots,s_{p},t_{1},t_{2},\cdots,t_{n-p}\end{Bmatrix}$ là cơ sở trực chuẩn của V.

Bất kỳ vectơ v trong V đều có thể được khai triển sử dụng cơ sở của V dưới dạng

$v=a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2}+\cdots+a_{p}s_{p}+b_{1}t_{1}+b_{2}t_{2}+b_{n-p}t_{n-p},$

trong đó a’s và b’s là các hệ số vô hướng. Phép chiếu trực giao của v lên W được định nghĩa là

$v_{proj_{W}}=a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2}+\cdots+a_{p}s_{p},$

tức là phần của v nằm trong W.

Nếu bạn chỉ biết vectơ v và cơ sở trực chuẩn của W, thì phép chiếu trực giao của v lên Wcó thể được tính từ

$v_{proj_{W}}=(v^{T}s_{1})s_{1}+(v^{T}s_{2})s_{2}+\cdots+(v^{T}s_{p})s_{p},$

tức là $a_{1}=v^{T}s_{1},a_{2}=v^{T}s_{2},\cdots$

Ta có thể chứng minh rằng vectơ $v_{proj_{W}}$ là vectơ trong W gần v nhất. Gọi w là bất kỳ vectơ nào trong W khác với $v_{proj_{W}},$ và khai triển ww theo các vectơ cơ sở của W

$w=c_{1}s_{1}+c_{2}s_{2}+\cdots+c_{p}s_{p}.$

Khoảng cách giữa v và w được cho bởi chuẩn $\left\|v-w\right\|,$ và ta có

$\left\|v-w\right\|^{2}=(a_{1}-c_{1})^{2}+(a_{2}-c_{2})^{2}+\cdots+(a_{p}-c_{p})^{2}+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n-p}^{2}\\\geq b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n-p}^{2}=\left\|v-v_{proj_{W}}\right\|^{2},$

hoặc $\left\|v-v_{proj_{W}}\right\|\leq\left\|v-w\right\|,$ một kết quả sẽ được sử dụng sau này trong bài toán bình phương cực tiểu.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Tìm phép chiếu trực giao tổng quát của vlên W, trong đó $v=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ và $W=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}.$ Các phép chiếu là gì khi $v=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ và khi $v=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ ?

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Đầu tiên, chúng ta sử dụng quy trình Gram-Schmidt để tìm một cơ sở trực chuẩn cho W. Ta đặt $u_{1}=\begin{pmatrix}1&1&1\\\end{pmatrix}^{T}.$ Khi đó

$u_{2}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}-\frac{\begin{pmatrix}1&1&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}-\frac{2}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}.$

Một cơ sở trực chuẩn cho W do đó

$s_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\quad s_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}.$

Phép chiếu của v lên W được cho bởi

$v_{proj_{W}}=(v^{T}s_{1})s_{1}+(v^{T}s_{2})s_{2}=\frac{1}{3}(a+b+c)\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{6}(-2a+b+c)\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}.$

Khi a=1, b=c=0, chúng ta có

$v_{proj_{W}}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix};$

Và khi b=1, a=c=0, chúng ta có

$v_{proj_{W}}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{6}\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 25: Phép chiếu trực giao

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy