Bài giảng 33: Tìm giá trị riêng và vector riêng (Phần A)

Chúng ta tính hai giá trị riêng thực và vector riêng của một ma trận 2×2.

Ví dụ: Tìm các giá trị riêng và vector riêng của $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}.$

Phương trình đặc trưng của A được cho bởi

$\lambda^{2}-1=0,$

với nghiệm $\lambda_1=1$ và $\lambda_2=1$ . Vector riêng thứ nhất được tìm bằng cách giải $(A-\lambda_1 I)x=0$ , hoặc

$\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}=0.$

Phương trình từ hàng thứ hai chỉ là một bội số của phương trình từ hàng thứ nhất, và điều này luôn đúng với ma trận 2×2. Từ hàng thứ nhất, ta có x₂=x₁. Vector riêng thứ hai được tìm bằng cách giải $(A-\lambda_2 I)x=0,$ , hoặc

$\begin{pmatrix}1&1\\1&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}=0$

do đó x₂=-x₁. Các giá trị riêng và vector riêng là

$\lambda _{1}=1,\quad x_{1}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\quad\lambda _{2}=-1,\quad x_{2}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.$

Các vector riêng có thể được nhân với một hằng số khác không bất kỳ. Lưu ý rằng $\lambda_1+\lambda_2=\text{Tr}A$ và $\lambda_1\lambda_2=\det A$ . Các quan hệ tương tự đúng với bất kỳ ma trận n×n nào. So sánh tổng các giá trị riêng với vết ma trận cung cấp một cách kiểm tra đơn giản về mặt đại số.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Tìm các giá trị riêng và vector riêng của $\begin{pmatrix}2&7\\7&2\\\end{pmatrix}.$

Câu 2: Tìm các giá trị riêng và vector riêng của $\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\\\end{pmatrix}.$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Cho $A=\begin{pmatrix}2&7\\7&2\\\end{pmatrix}$ . Các giá trị riêng của A được tìm từ

$0=det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}2-\lambda&7\\7&2-\lambda\\\end{vmatrix}=(2-\lambda)^{2}-49.$

Vì vậy $2-\lambda=\pm 7$ , và các giá trị riêng là $\lambda_{1}=-5,\lambda_{2}=9.$ Vector riêng cho $\lambda_{1}=-5$ được tìm từ

$\begin{pmatrix}7&7\\7&7\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}=0,$

hoặc $x_{1}+x_{2}=0$ . Vector riêng cho $\lambda_{2}=9.$ được tìm từ

$\begin{pmatrix}-7&7\\7&-7\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}=0,$

hoặc $x_{1}-x_{2}=0$ . Các giá trị riêng và các vectơ riêng tương ứng do đó được cho bởi

$\lambda _{1}=-5,\quad x _{1}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix};\qquad\lambda _{1}=9,\quad x _{1}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}.$

Câu 2: Cho $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\\\end{pmatrix}.$ Các giá trị riêng của A được tìm từ

$0=det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}2-\lambda&1&0\\1&2-\lambda&1\\0&1&2-\lambda\\\end{vmatrix}=(2-\lambda)((2-\lambda)^{2}-2).$

Vì vậy $\lambda _{1}=2,\lambda _{2}=2-\sqrt{2}$ và $\lambda _{3}=2+\sqrt{2}$ . Vector riêng cho $\lambda _{1}=2$ được tìm từ

$\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=0,$

hoặc $x_{2}=0$ và $x_{1}+x_{3}=0$ , hoặc $x_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}.$ Vector riêng cho \lambda _{2}=2-\sqrt{2}[/latex] được tìm từ

$\begin{pmatrix}\sqrt{2}&1&0\\1&\sqrt{2}&1\\0&1&\sqrt{2}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=0$ .

Khử Gauss cho ta

$rref\begin{pmatrix}\sqrt{2}&1&0\\1&\sqrt{2}&1\\0&1&\sqrt{2}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&\sqrt{2}\\0&0&0\\\end{pmatrix}.$

Vì vậy $x_{1}=x_{3}$ và $x_{2}=-\sqrt{2}x_{3}$ và một vector riêng là $x_{2}=\begin{pmatrix}1\\-\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}$ . Tương tự, vector riêng thứ ba là $x_{3}=\begin{pmatrix}1\\\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 33: Tìm giá trị riêng và vector riêng (Phần A)

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy