Bài giảng 4 | Ma trận chuyển vị

Chuyển vị của một ma trận A, ký hiệu là A^T và đọc là “A chuyển vị,” thực hiện việc hoán đổi hàng và cột của ma trận A. Cụ thể:

$\text{if}\quad A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\\end{pmatrix},\text{then}\quad A^{T}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{m2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{mn}\\\end{pmatrix}$

Nói cách khác, chúng ta viết

$a_{ij}^{T}=a_{ji}.$

Rõ ràng, nếu A là ma trận kích thước m x n, thì A^T sẽ có kích thước m x n. Một ví dụ đơn giản, hãy xem cặp ma trận chuyển vị sau:

$\begin{pmatrix}a&d\\b&e\\c&f\\\end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\\end{pmatrix}.$

Sau đây là các tính chất hữu ích và dễ chứng minh:

$\begin{pmatrix}A^{T}\end{pmatrix}^{T}=A,and\left(A+B\right)^{T}=A^{T}+B^{T}.$

Một sự thật ít rõ ràng hơn là phép chuyển vị của tích các ma trận bằng với tích các phép chuyển vị với thứ tự nhân bị đảo ngược, tức là,

$\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}.$

Nếu A là ma trận vuông và $A^{T}=A,$ , thì ta nói rằng A là ma trận đối xứng. Nếu $A^{T}=-A,$ thì ta nói rằng A là ma trận đối xứng ngược. Ví dụ, các ma trận đối xứng và đối xứng ngược ba chiều trông như sau:

$\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\\\end{pmatrix},\qquad\begin{pmatrix}0&b&c\\-b&0&e\\-c&-e&0\\\end{pmatrix}.$

Lưu ý: các phần tử trên đường chéo của một ma trận đối xứng ngược phải bằng zero.

LUYỆN TẬP:

Câu 1: Chứng minh rằng $\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}.$

Câu 2: Chứng minh bằng cách sử dụng phép chuyển vị rằng bất kỳ ma trận vuông A nào cũng có thể được viết dưới dạng tổng của một ma trận đối xứng và một ma trận đối xứng ngược.

Câu 3: Chứng minh rằng $A^{T}A$ là ma trận đối xứng.

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN:

Câu 1: Giả sử A là ma trận kích thước $m\times p$ , ( B ) là ma trận kích thước $p\times n$ . Ta có

$\begin{bmatrix}\left(AB\right)^{T}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AB\end{bmatrix}_{ji}=\sum_{k=1}^{p}b_{ik}^{T}a_{kj}^{T}=\begin{bmatrix}B^{T}A^{T}\end{bmatrix}_{ij}.$

Vì thế $\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}.$

Câu 2: Ma trận vuông $A+A^{T}.$ là ma trận đối xứng, và ma trận vuông $A-A^{T}$ là ma trận đối xứng ngược. Sử dụng hai ma trận này, ta có thể viết

$A=\frac{1}{2}\left(A+A^{T}\right)+\frac{1}{2}\left(A-A^{T}\right).$

Câu 3: Giả sử A là ma trận kích thước $m\times n$ . Sau đó, sử dụng $\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}$ và $(A^{T})^{T}=A$ , chúng ta có $\left(A^{T}A\right)^{T}=A^{T}A.$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 4 | Ma trận chuyển vị

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy