Bài giảng 6 | Ma trận nghịch đảo

Ma trận vuông có thể có ma trận nghịch đảo. Khi ma trận A có nghịch đảo, chúng ta nói nó khả nghịch và biểu thị nghịch đảo của nó bằng A⁻¹. Ma trận nghịch đảo thỏa mãn

$AA^{-1}=A^{-1}A=I$

Nếu A và B là các ma trận khả nghịch, thì $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ . Hơn nữa, nếu A khả nghịch thì A^Tcũng khả nghịch và $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}.$

Việc suy ra ma trận nghịch đảo của một ma trận tổng quát kích thước $2\times 2$ là rất hữu ích.

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix},$

và thử giải $x_{1},y_{1},x_{2},$ theo $a,b,c$ và $d$ . Có hai phương trình tuyến tính không thuần nhất và hai phương trình tuyến tính thuần nhất:

$\begin{matrix}ax_{1}+by_{1}=1,&cx_{1}+dy_{1}=1,\\cx_{2}+dy_{2}=1,&ax_{2}+by_{2}=1.\\\end{matrix}$

Để giải, chúng ta có thể loại bỏ y₁ và y₂ bằng cách sử dụng hai phương trình tuyến tính thuần nhất, và tìm x₁ và x₂ bằng cách sử dụng hai phương trình tuyến tính không thuần nhất. Giải pháp cho ma trận nghịch đảo được tìm thấy là

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{pmatrix}$

Hàm số ad – bc chính là định nghĩa của định thức của ma trận 2×2

$det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}=ad-bc.$

Định thức của một ma trận 2×2 là tích của các phần tử trên đường chéo trừ đi tích của các phần tử ngoài đường chéo. Rõ ràng, một ma trận 2×2 A chỉ khả nghịch nếu $A\neq 0$ . Lưu ý rằng ma trận nghịch đảo của một ma trận 2×2, theo cách diễn đạt đơn giản, được tìm bằng cách hoán đổi các phần tử trên đường chéo của ma trận, thay đổi dấu các phần tử ngoài đường chéo, và chia cho định thức.

Sau này, chúng ta sẽ chứng minh rằng một ma trận $n\times n$ khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó khác không. Điều này sẽ yêu cầu một định nghĩa tổng quát hơn về định thức.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận $\begin{pmatrix}5&6\\4&5\\\end{pmatrix}$ và $\begin{pmatrix}6&4\\3&3\\\end{pmatrix}$ .

Câu 2: Chứng minh rằng nếu A và B là các ma trận khả nghịch cùng kích thước, thì $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$

Câu 3: Chứng minh rằng nếu A khả nghịch thì A^T cũng khả nghịch, và $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}.$

Câu 4: Chứng minh rằng nếu một ma trận khả nghịch, thì ma trận nghịch đảo của nó là duy nhất.

Câu 5: Xem xét hình bình hành được tạo bởi hai đường thẳng vẽ từ gốc tọa độ đến các điểm ( (a, b) ) và ( (c, d) ), như trong hình vẽ.

Chứng minh rằng diện tích của hình bình hành được cho bởi giá trị tuyệt đối của định thức

$Area=\begin{vmatrix}det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}\end{vmatrix}.$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1:

$\begin{pmatrix}5&6\\4&5\\\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}5&-6\\-4&5\\\end{pmatrix}\quad and\quad\begin{pmatrix}6&4\\3&3\\\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}3&-4\\-3&6\\\end{pmatrix}.$