Bài giảng 7 | Ma trận trực giao

Một ma trận vuông Q với các phần tử thực thỏa mãn

$Q^{-1}=Q^{T}$

được gọi là ma trận trực giao. Một cách khác để viết định nghĩa này là

$QQ^{T}=I$ và $Q^{T}Q=I.$

Chúng ta có thể dễ dàng hiểu các ma trận trực giao hơn bằng cách xem xét một ví dụ tổng quát với ma trận 2×2. Giả sử Q là ma trận trực giao được cho bởi

$Q=\begin{pmatrix}q_{11}&q_{12}\\q_{21}&q_{22}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q_{1}&q_{1}\\\end{pmatrix},$

Trong đó q₁ và q₂ là các vectơ cột 2×1 của ma trận Q. Sau đó

$Q^{T}QQ=\begin{pmatrix}q_{1}^{T}\\q_{2}^{T}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q_{1}&q_{2}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q_{1}^{T}q_{1}&q_{1}^{T}q_{2}\\q_{2}^{T}q_{1}&q_{2}^{T}q_{2}\\\end{pmatrix}.$

Nếu Q là ma trận trực giao, thì Q^TQ = I và

$q_{1}^{T}q_{1}=q_{2}^{T}q_{2}=1$ và $q_{1}^{T}q_{2}=q_{2}^{T}q_{1}=0$

Tức là, các cột của Q tạo thành một tập hợp các vectơ trực chuẩn. Lập luận tương tự cũng có thể được áp dụng cho các hàng của Q.
Do đó, một định nghĩa tương đương của ma trận trực giao là một ma trận vuông với các phần tử thực, trong đó các cột (và cả các hàng) tạo thành một tập hợp các vectơ trực chuẩn.
Có một định nghĩa tương đương thứ ba của ma trận trực giao. Giả sử Q là ma trận trực giao n x n, và x là một vectơ cột n x 1. Khi đó, bình phương độ dài của vectơ Qx được cho bởi:

$\left\|Qx\right\|^{2}=(Qx)^{T}(Qx)=x^{T}Q^{T}Qx=x^{T}Ix=x^{T}x=\left\|x\right\|^{2}.$

Do đó, độ dài của Qx bằng độ dài của x, và chúng ta nói rằng một ma trận trực giao là ma trận bảo toàn độ dài. Trong bài giảng tiếp theo, một ví dụ về ma trận trực giao sẽ là ma trận quay một vectơ hai chiều trong mặt phẳng.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Chứng minh rằng tích của hai ma trận trực giao là ma trận trực giao.

Câu 2: Chứng minh rằng ma trận đơn vị n x n là ma trận trực giao.

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Giả sử Q1 và Q2 là các ma trận trực giao. Khi đó

$(Q_{1}Q_{2})^{-1}=Q_{2}^{-1}Q_{1}^{-1}=Q_{2}^{T}Q_{1}^{T}=(Q_{1}Q_{2})^{T}.$