Bài giảng 8 | Ma trận quay

Ma trận quay một vectơ trong không gian không làm thay đổi độ dài của vectơ và do đó phải là ma trận trực giao. Hãy xem xét ma trận quay $2\times 2$ quay một vectơ theo hướng ngược chiều kim đồng hồ qua một góc θ trong mặt phẳng x-y, như đã trình bày ở trên. Công thức lượng giác và công thức cộng cho cosin và sin sẽ cho kết quả là

$\begin{matrix}\begin{matrix}x^{'}=rcos(\theta+\psi)\\=r(cos\theta cos\psi-sin\theta sin\psi)\\=xcos\theta-ysin\theta\end{matrix}&\begin{matrix}\qquad y^{'}=rsin(\theta+\psi)\\\qquad=r(sin\theta cos\psi-cos\theta sin\psi)\\=xsin\theta+ycos\theta\end{matrix}\end{matrix}.$

Viết các phương trình cho x′ và y′ dưới dạng ma trận, chúng ta có

$\begin{pmatrix}x^{'}\\y^{'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\theta&sin\theta\\sin\theta&cos\theta\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.$

Ma trận 2×2 ở trên là một ma trận quay và chúng ta sẽ ký hiệu nó là R_θ. Lưu ý rằng các hàng và cột của R_θ là trực chuẩn và nghịch đảo của R_θ chính là chuyển vị của nó. Nghịch đảo của R_θ sẽ quay một vectơ với góc −θ.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Cho $R(\theta)=\begin{pmatrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta\\\end{pmatrix}$ . Chứng minh rằng $R(-\theta)=R(-\theta)^{-1}.$

Câu 2: Tìm ma trận 3×3 quay một vectơ ba chiều một góc θ ngược chiều kim đồng hồ quanh trục z.

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1:

$R(-\theta)=\begin{pmatrix}cos\theta&sin\theta\\-sin\theta&cos\theta\\\end{pmatrix}=R(\theta)^{-1}.$

Câu 2: Tọa độ z giữ nguyên, và vectơ quay một góc θ trong mặt phẳng x-y. Do đó,

$R_{z}=\begin{pmatrix}cos\theta&-sin\theta&0\\sin\theta&cos\theta&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 8 | Ma trận quay

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy