Bài giảng 9 | Ma trận hoán vị

Một loại ma trận trực giao khác là ma trận hoán vị. Một ma trận hoán vị, khi nhân bên trái, sẽ hoán vị các hàng của một ma trận, và khi nhân bên phải, sẽ hoán vị các cột. Rõ ràng, việc hoán vị các hàng của một vectơ cột sẽ không làm thay đổi độ dài của nó.

Ví dụ: giả sử chuỗi {1, 2} biểu diễn thứ tự của các hàng trong một ma trận 2×2. Khi đó, hai hoán vị có thể có của các hàng là {1, 2} và {2, 1}. Hoán vị đầu tiên không thực hiện hoán vị nào cả, và ma trận hoán vị tương ứng chính là ma trận đơn vị. Hoán vị thứ hai của các hàng được thực hiện bởi

Các hàng của một ma trận 3×3 có 3! = 6 hoán vị khả dĩ, cụ thể là: {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}.

Ví dụ, hoán vị hàng {3, 1, 2} được thực hiện bởi

Lưu ý rằng ma trận hoán vị được tạo ra bằng cách hoán vị các hàng tương ứng của ma trận đơn vị, với các hàng của ma trận đơn vị được hoán vị từ {1, 2, 3} → {3, 1, 2}. Việc ma trận hoán vị chỉ là một ma trận đơn vị với các hàng được hoán vị trở nên rõ ràng khi viết như sau

Trong đó, P là ma trận hoán vị và PI là ma trận đơn vị với các hàng được hoán vị. Ma trận đơn vị là ma trận trực giao, và ma trận hoán vị được tạo ra bằng cách hoán vị các hàng của ma trận đơn vị cũng là ma trận trực giao.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Viết ra sáu ma trận hoán vị 3×3 tương ứng với các hoán vị {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}.

Câu 2: Xác định các ma trận nghịch đảo của tất cả ma trận hoán vị 3×3, xét đến việc nghịch đảo của một ma trận hoán vị sẽ đảo ngược hoán vị ban đầu. Giải thích tại sao một số ma trận là nghịch đảo của chính nó, trong khi những ma trận khác thì không.

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1:

Câu 2:

Các ma trận là nghịch đảo của chính nó tương ứng với việc không hoán vị hoặc chỉ hoán vị một hàng, ví dụ: {1, 3, 2}, hoán vị hàng hai và hàng ba. Các ma trận không phải là nghịch đảo của chính nó tương ứng với hai hoán vị, ví dụ: {2, 3, 1}, hoán vị hàng một và hàng hai, rồi sau đó hoán vị hàng hai và hàng ba. Ví dụ, khi hoán vị các hàng bằng phép nhân bên trái, ta có

Vì vậy, ma trận nghịch đảo được cho bởi

Vì các ma trận nói chung không hoán đổi vị trí, Cũng lưu ý rằng các ma trận hoán vị 231 là ma trận trực giao, vì vậy các ma trận nghịch đảo bằng ma trận chuyển vị. Do đó, chỉ các ma trận hoán vị đối xứng mới có thể là nghịch đảo của chính nó.