Bài giảng 19: Quy trình Gram-Schmidt

Cho một cơ sở bất kỳ của một không gian vectơ, chúng ta có thể sử dụng một thuật toán gọi là quy trình Gram-Schmidt để xây dựng một cơ sở trực chuẩn cho không gian đó. Giả sử các vectơ $v_{1},v_{2},\cdots,v_{n}$ là một cơ sở của một không gian vectơ n-chiều. Ở đây, chúng ta sẽ giả định rằng các vectơ này là các ma trận cột, nhưng quy trình này cũng được áp dụng một cách tổng quát hơn.

Chúng ta sẽ xây dựng một cơ sở trực giao $u_{1},u_{2},\cdots,u_{n},$ sau đó chuẩn hóa mỗi vectơ để thu được một cơ sở trực chuẩn. Đầu tiên, định nghĩa $u_{1}=v_{1}.$ Để tìm vectơ cơ sở trực giao tiếp theo, định nghĩa

$u_{2}=v_{2}-\frac{(u_{1}^{T}v_{2})u_{1}}{u_{1}^{T}u_{1}}.$

Chú ý rằng $u_{2}$ bằng $v_{2}$ trừ đi thành phần của $v_{2}$ song song với $u_{1}$ . Bằng cách nhân cả hai vế của phương trình này với $u_{1}^{T}$ , ta dễ dàng thấy rằng $u_{1}^{T}u_{2}=0$ , nghĩa là hai vectơ này trực giao với nhau.

Vectơ trực giao tiếp theo trong cơ sở mới có thể được tìm bằng công thức

$u_{3}=v_{3}-\frac{(u_{1}^{T}v_{3})u_{1}}{u_{1}^{T}u_{1}}-\frac{(u_{2}^{T}v_{3})u_{2}}{u_{2}^{T}v_{2}}.$

Ở đây, $u_{3}$ bằng $v_{3}$ trừ đi các thành phần của $v_{3}$ song song với $u_{1}$ và $u_{2}.$ Chúng ta có thể tiếp tục theo cách này để xây dựng n vectơ cơ sở trực giao. Các vectơ này sau đó có thể được chuẩn hóa thông qua

$\hat{u_{1}}=\frac{u_{1}}{(u_{1}^{T}u_{1})^{1/2}},\quad etc.$

Do $u_{k}$ là một tổ hợp tuyến tính của $v_{1},v_{2},\cdots,v_{k},$ không gian con được sinh bởi k vectơ cơ sở đầu tiên của không gian vectơ ban đầu giống với không gian con được sinh bởi k vectơ trực chuẩn đầu tiên được tạo ra qua quy trình Gram-Schmidt. Ta có thể viết kết quả này như sau

$span\begin{Bmatrix}u_{1},u_{2},\cdots,u_{k}\end{Bmatrix}=span\begin{Bmatrix}v_{1},v_{2},\cdots,v_{k}\end{Bmatrix}.$

LUYỆN TẬP

Câu 1: Giả sử bốn vectơ cơ sở $\begin{Bmatrix}v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\end{Bmatrix}$ được cho, và người ta thực hiện quy trình Gram-Schmidt trên các vectơ này theo thứ tự. Viết phương trình để tìm vectơ trực giao thứ tư $u_{4}$ . Không chuẩn hóa.