Bài giảng 28: Định thức của ma trận 2×2 và 3×3

Chúng ta đã chỉ ra rằng một ma trận 2×2, A, khả nghịch khi định thức của nó khác không, với

Nếu A khả nghịch, thì phương trình Ax=b có nghiệm duy nhất x=A⁻¹b. Nhưng nếu A không khả nghịch, thì Ax=b có thể không có nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Khi det⁡A=0, ta nói rằng ma trận A là suy biến (singular).

Chúng ta cũng có thể định nghĩa định thức cho ma trận 3×3. Xét hệ phương trình Ax=0 và xác định điều kiện để x=0 là nghiệm duy nhất. Với

Ta có thể thực hiện các phép biến đổi đại số phức tạp bằng phương pháp khử để giải x₁​, x₂​, và x₃​. Kết quả thu được là x₁=x₂=x₃=0 chỉ khi det⁡A≠0, với định nghĩa (ngoại trừ một hằng số) được cho bởi

Một cách dễ nhớ kết quả này là hình sau

Ma trận A được mở rộng định kỳ bằng cách thêm hai cột sang phải, điều này được vẽ rõ ràng ở đây nhưng thường chỉ được hình dung. Khi đó, sáu hạng tử tạo thành định thức sẽ được hiển thị rõ ràng, với các đường xiên xuống bên phải mang dấu cộng và các đường xiên xuống bên trái mang dấu trừ. Tuy nhiên, cách ghi nhớ này chỉ áp dụng cho ma trận 3×3.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Tìm định thức của ma trận đơn vị 3×3.

Câu 2: Chứng minh rằng định thức của ma trận 3×3 sẽ đổi dấu khi hoán đổi hai hàng đầu tiên.

Câu 3: Cho A và B là các ma trận 2×2. Chứng minh trực tiếp rằng det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B).

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1:

Câu 2:

Câu 3: Cho

Khi đó

và