Bài giảng 30: Công thức Leibniz

Một cách khác để khái quát hóa định thức ma trận 3×3 được gọi là công thức Leibniz, hoặc mô tả đầy đủ hơn, là công thức tổng quát. Định thức của ma trận 3×3 có thể được viết dưới dạng:

trong đó mỗi hạng tử trong công thức chứa một phần tử duy nhất từ mỗi hàng và mỗi cột. Ví dụ, để thu được hạng tử thứ ba : đến từ hàng thứ nhất và cột thứ hai, đến từ hàng thứ hai và cột thứ ba, và đến từ hàng thứ ba và cột thứ nhất. Vì chúng ta có thể chọn một trong ba phần tử từ hàng thứ nhất, sau đó một trong hai phần tử từ hàng thứ hai, và cuối cùng là một phần tử duy nhất từ hàng thứ ba, có tổng cộng 3!=6 hạng tử trong công thức. Với ma trận n×n tổng quát (không có phần tử nào bằng không), sẽ có n! hạng tử.

Dấu của mỗi hạng tử phụ thuộc vào việc thứ tự lựa chọn các cột khi chúng ta đi qua các hàng là một hoán vị chẵn hay lẻ của thứ tự các cột . Một hoán vị chẵn là khi các cột được hoán đổi một số lần chẵn, và một hoán vị lẻ là khi các cột được hoán đổi một số lần lẻ. Hoán vị chẵn được gán dấu “+” và hoán vị lẻ được gán dấu “−”.

Đối với định thức của ma trận 3×3, các hạng tử dương và tương ứng với các thứ tự cột và , đây là các hoán vị chẵn của . Các hạng tử âm và tương ứng với các thứ tự cột và , đây là các hoán vị lẻ.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Sử dụng công thức Leibniz, tính định thức của ma trận 4×4 sau:

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Đối với mỗi phần tử được chọn từ hàng đầu tiên, chỉ có một cách duy nhất để chọn các phần tử khác không từ tất cả các hàng tiếp theo. Xét xem các cột được chọn là hoán vị chẵn hay lẻ của tập hợp có thứ tự , ta được