Bài giảng 31: Các tính chất của định thức

Định thức là một hàm ánh xạ một ma trận vuông sang một vô hướng. Nó được định nghĩa duy nhất bởi ba tính chất sau:

Tính chất 1: Định thức của ma trận đơn vị là bằng 1.
Tính chất 2: Định thức đổi dấu khi hoán đổi hai hàng của ma trận.
Tính chất 3: Định thức là một hàm tuyến tính theo hàng đầu tiên, giữ cố định tất cả các hàng khác.

Sử dụng các ma trận 2×2, hai tính chất đầu tiên được minh họa bởi

$\begin{vmatrix}1&0\\0&1\\\end{vmatrix}=1$ và $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\\\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}c&d\\a&b\\\end{vmatrix};$

và tính chất thứ ba được minh họa bởi

$\begin{vmatrix}ka&kb\\c&d\\\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a&b\\c&d\\\end{vmatrix}$ và $\begin{vmatrix}a+a^{'}&b+b^{'}\\c&d\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\\\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a^{'}&b^{'}\\c&d\\\end{vmatrix}.$

Cả khai triển Laplace và công thức Leibniz của định thức đều có thể được chứng minh từ ba tính chất này. Ngoài ra, các tính chất hữu ích khác của định thức cũng có thể được chứng minh:

Định thức là một hàm tuyến tính theo bất kỳ hàng nào, giữ cố định tất cả các hàng khác.
Nếu một ma trận có hai hàng bằng nhau, thì định thức bằng 0.
Nếu cộng k lần hàng i vào hàng j, định thức không thay đổi.
Định thức của một ma trận có một hàng bằng 0 là bằng 0.
Một ma trận có định thức bằng 0 thì không khả nghịch.
Định thức của một ma trận chéo là tích của các phần tử trên đường chéo chính.
Định thức của một ma trận tam giác trên hoặc tam giác dưới là tích của các phần tử trên đường chéo chính.
Định thức của tích hai ma trận bằng tích các định thức của chúng.
Định thức của ma trận nghịch đảo bằng nghịch đảo của định thức.
Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận ban đầu.

Đáng chú ý, các tính chất này chỉ ra rằng phép khử Gauss, thực hiện trên các hàng hoặc cột (hoặc cả hai), có thể được sử dụng để đơn giản hóa việc tính định thức. Hoán đổi hai hàng hoặc nhân một hàng với một hằng số sẽ làm thay đổi định thức và cần được xử lý đúng cách.

LUYỆN TẬP

Câu 1: Sử dụng các tính chất định nghĩa của định thức, chứng minh rằng nếu một ma trận có hai hàng bằng nhau, thì định thức của nó bằng 0.

Câu 2: Sử dụng các tính chất định nghĩa của định thức, chứng minh rằng định thức là một hàm tuyến tính theo bất kỳ hàng nào, giữ cố định tất cả các hàng khác.

Câu 3: Sử dụng kết quả từ các bài toán trên, chứng minh rằng nếu cộng kkk lần hàng iii vào hàng jjj, định thức không thay đổi.

Câu 4: Sử dụng phép khử Gauss để tìm định thức của ma trận sau:

$A=\begin{pmatrix}2&0&-1\\3&1&1\\0&-1&1\\\end{pmatrix}.$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Giả sử ma trận vuông A có hai hàng bằng nhau. Nếu chúng ta hoán đổi hai hàng này, theo Tính chất 2, định thức của A sẽ đổi dấu, mặc dù ma trận A không thay đổi. Do đó, det⁡A=−det⁡A, hoặc det⁡A=0.

Câu 2: Để chứng minh rằng định thức là một hàm tuyến tính theo hàng i, ta hoán đổi hàng 1 và hàng i theo Tính chất 2. Sau đó, sử dụng Tính chất 3, và cuối cùng, hoán đổi hàng 1 và hàng i lại một lần nữa.

Câu 3: Xét một ma trận tổng quát kích thước n×n. Sử dụng tính chất tuyến tính của hàng j, và thực tế rằng một ma trận có hai hàng bằng nhau thì định thức bằng 0, chúng ta có

$\begin{vmatrix}\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{j1}+ka_{i1}&\cdots&a_{jn}+ka_{in}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{j1}&\cdots&a_{jn}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\end{vmatrix}+k\begin{vmatrix}\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vdots&\ddots&\vdots\\a_{i1}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{j1}&\cdots&a_{jn}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\end{vmatrix}$

Do đó, định thức không thay đổi khi cộng k lần hàng i vào hàng j.

Câu 4:

$\begin{vmatrix}2&0&-1\\3&1&1\\0&-1&1\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&0&-1\\0&1&5/2\\0&-1&1\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&0&-1\\0&1&5/2\\0&0&7/2\\\end{vmatrix}=2\times 1\times 7/2=7.$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 31: Các tính chất của định thức

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy