Bài giảng 37: Lũy thừa của một ma trận

Việc đường chéo hóa một ma trận giúp việc tính lũy thừa của ma trận đó trở nên dễ dàng hơn. Giả sử ma trận A có thể đường chéo hóa, và xét

$A^{2}=(S\Lambda S^{-1})(S\Lambda S^{-1})=S\Lambda^{2}S^{-1}$

Trong ví dụ với ma trận 2×2, Λ²đơn giản là

$\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{2}&0\\0&\lambda _{2}^{2}\\\end{pmatrix}.$

Nhìn chung, $\Lambda^p$ có các giá trị riêng được nâng lên lũy thừa p trên đường chéo, và

$A^p=SA^pS^{-1}$ .

LUYỆN TẬP

Câu 1: Từ phép tính vi phân, hàm số mũ đôi khi được định nghĩa từ chuỗi lũy thừa

$e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+....$

Tương tự, hàm mũ ma trận của một ma trận A n×n có thể được định nghĩa bởi

$e^{A}=I+A+\frac{1}{2!}A^{2}+\frac{1}{3!}A^{3}+....$

Nếu A có thể đường chéo hóa, chứng minh rằng

$e^{A}=Se^{\Lambda}S^{-1},$

ở đây

$e^{A}=\begin{pmatrix}e^{\lambda _{1}}&0&\cdots&0\\0&e^{\lambda _{2}}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&e^{\lambda _{n}}\\\end{pmatrix}.$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1:

$e^{A}=e^{S\Lambda S^{-1}}=I+S\Lambda S^{-1}+\frac{S\Lambda^{2}S^{-1}}{2!}+\frac{S\Lambda^{3}S^{-1}}{3!}+\cdots\\\\=S(I+\Lambda+\frac{\Lambda^{2}}{2!}+\frac{\Lambda^{3}}{3!}+\cdots)S^{-1}=Se^{\Lambda}S^{-1}$

Vì Λ là một ma trận đường chéo, nên các lũy thừa của Λ cũng là các ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo được nâng lên lũy thừa tương ứng. Mỗi phần tử trên đường chéo của e^Λ chứa một chuỗi lũy thừa có dạng

$1+\lambda _{1}+\frac{\lambda _{i}^{2}}{2!}+\frac{\lambda _{i}^{3}}{3!}+...,$

đây chính là chuỗi lũy thừa của $e^{\lambda _{1}}$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 37: Lũy thừa của một ma trận

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy