Bài giảng 38: Lũy thừa của một ma trận (ví dụ)

Ví dụ: Xác định công thức tổng quát cho $\begin{pmatrix}a&b\\b&a\\\end{pmatrix}^{n}$ , trong đó n là một số nguyên dương.

Trước đó, ta đã xác định rằng ma trận có thể được viết dưới dạng

$\begin{pmatrix}a&b\\b&a\\\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a+b&0\\0&a-b\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}.$

Khi nâng ma trận lên lũy thừa n, ta được

$\begin{pmatrix}a&b\\b&a\\\end{pmatrix}^{n}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}(a+b)^{n}&0\\0&(a-b)^{n}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\\end{pmatrix}.$

Và khi nhân các ma trận lại, ta có được

$\begin{pmatrix}a&b\\b&a\\\end{pmatrix}^{n}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}(a+b)^{n}+(a-b)^{n}&(a+b)^{n}-(a-b)^{n}\\(a+b)^{n}-(a-b)^{n}&(a+b)^{n}+(a-b)^{n}\\\end{pmatrix}.$

LUYÊN TẬP

Câu 1: Xác định ma trận $\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\\\end{pmatrix}^{n}$ , trong đó n là một số nguyên dương.

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: Ta sử dụng kết quả

$\begin{pmatrix}a&b\\b&a\\\end{pmatrix}^{n}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}(a+b)^{n}+(a-b)^{n}&(a+b)^{n}-(a-b)^{n}\\(a+b)^{n}-(a-b)^{n}&(a+b)^{n}+(a-b)^{n}\\\end{pmatrix}.$

để tìm

$\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\\\end{pmatrix}^{n}=\begin{pmatrix}2^{n-1}&-2^{n-1}\\-2^{n-1}&2^{n-1}\\\end{pmatrix}$ .

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Bài giảng 38: Lũy thừa của một ma trận (ví dụ)

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy