Luyện tập: Phép chiếu trực giao

Câu 1: Vectơ nào là hình chiếu trực giao của $v=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ lên $W=span\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}?$

a) $\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$

b) $\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}$

c) $\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}$

d) $\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$

Câu 2: Giả sử chúng ta có các điểm dữ liệu $(x_{n},y_{n})=(1,1),(2,1)$ và $(3,3)$ . Nếu dữ liệu được khớp với đường thẳng $y=\beta _{0}+\beta _{1}x,$ Phương trình thừa nghiệm cho β₀ và β₁ là gì?

a) $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\\3&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$

b) $\begin{pmatrix}1&1\\2&1\\3&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$

c) $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\\1&3\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$

d) $\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\1&3\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$

Câu 3: Giả sử chúng ta có các điểm dữ liệu $(x_{n},y_{n})=(1,1),(2,1)$ và $(3,3)$ . Đường thẳng khớp nhất với dữ liệu là?

a) $y=\frac{1}{3}+x$

b) $y=-\frac{1}{3}+x$

c) $y=1+\frac{1}{3}x$

d) $y=1-\frac{1}{3}x$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: đáp án b

Đầu tiên, chúng ta chuẩn hóa các vector trong W để được cơ sở trực chuẩn

$w_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix},\quad w_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}.$

Khi đó, phép chiếu trực giao của $v=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ lên W được cho bởi

$v_{proj_{W}}=(v^{T}w_{1})w_{1}+(v^{T}w_{2})w_{2}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}+\frac{1}{6}\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}.$

Câu 2: đáp án d

Hệ phương trình xác định dư được cho bởi

$\beta _{0}+\beta _{1}x_{1}=y_{1},$

$\beta _{0}+\beta _{1}x_{2}=y_{2},$

$\beta _{0}+\beta _{1}x_{3}=y_{3}.$

Thay các giá trị của xxx và yyy, sau đó viết dưới dạng ma trận, ta được

$\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\1&3\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}.$

Câu 3: đáp án b

Các phương trình chuẩn được cho bởi

$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\1&3\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}.$

Nhân phân phối, chúng ta có

$\begin{pmatrix}3&6\\6&14\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\12\end{pmatrix}.$

Đảo ngược ma trận 2×2, ta có

$\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\end{pmatrix}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}14&-6\\-6&3\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\12\end{pmatrix}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}-2\\6\end{pmatrix}.$

Đường thẳng khớp tốt nhất là $y=-\frac{1}{3}+x.$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Luyện tập: Phép chiếu trực giao

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy