Luyện tập: Quy trình Gram-Schmidt

Câu 1: Ở bước thứ tư của quá trình Gram-Schmidt, vector

$u_{4}=v_{4}-\frac{(u_{1}^{T}v_{4})u_{1}}{u_{1}^{T}u_{1}}-\frac{(u_{2}^{T}v_{4})u_{2}}{u_{2}^{T}u_{2}}-\frac{(u_{3}^{T}v_{4})u_{3}}{u_{3}^{T}u_{3}}$

luôn vuông góc với

$\begin{matrix}a)\quad v_{1}\\\\b)\quad v_{2}\\\\c)\quad v_{3}\\\\d)\quad v_{4}\end{matrix}$

Câu 2: Quy trình Gram-Schmidt áp dụng cho $\begin{Bmatrix}v_{1},v_{2}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$ được kết quả là

a) $\begin{Bmatrix}\hat{u_{1}},\hat{u_{2}}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$

b) $\begin{Bmatrix}\hat{u_{1}},\hat{u_{2}}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$

c) $\begin{Bmatrix}\hat{u_{1}},\hat{u_{2}}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$

d) $\begin{Bmatrix}\hat{u_{1}},\hat{u_{2}}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$

Câu 3: Quy trình Gram-Schmidt áp dụng cho $\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$ được kết quả là

a) $\begin{Bmatrix}\hat{u_{1}},\hat{u_{2}}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$

b) $\begin{Bmatrix}\hat{u_{1}},\hat{u_{2}}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$

c) $\begin{Bmatrix}\hat{u_{1}},\hat{u_{2}}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$

d) $\begin{Bmatrix}\hat{u_{1}},\hat{u_{2}}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$

LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1: đáp án a

Vector u₄ vuông góc với u₁, u₂ và u₃. Vì u₁=v₁ nên u₄ vuông góc với v₁.

Câu 2: đáp án a

Vì các vector đã vuông góc, chúng ta chỉ cần chuẩn hóa chúng để tìm

$\begin{Bmatrix}\hat{u_{1}},\hat{u_{2}}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}$

Câu 3: đáp án b

Cho $u_{1}=u_{1}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}.$ Khi đó

$u_{2}=v_{2}-\frac{(u_{1}^{T}v_{2})u_{1}}{u_{1}^{T}u_{1}}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}-\frac{2}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}.$

Chuẩn hóa các vector, chúng ta có

$\begin{Bmatrix}\hat{u_{1}},\hat{u_{2}}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}.$

Để lại một bình luận Hủy

Chịu trách nhiệm nội dung

Bản quyền

Ý kiến bạn đọc

Luyện tập: Quy trình Gram-Schmidt

Lesson Attachments

Để lại một bình luận Hủy